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2014年度 東京都立進学重視型単位制高等学校入試問題(過去問) 解答解説

東京都立進学重視型単位制高校数学過去問研究

2014年度から都立新宿,墨田川,国分寺高校が進学重視型単位制校として、共通の問題を出題するようになりました。大問4題構成で、[1」は各校独自の小問集合 [2]〜[4]が3校共通問題でした。

今回は[4]の立体図形を解説します。

問4. 立体図形問題

スペースONEプロ家庭教師の解答で、東京都立高等学校の発表ではありません。

 
問1 解説解答

図1において、点Aと点E,点Cと点Eを結んだ場合を考える。△ACEの面積は何cuか。
解説
∠CAE = 90°なので、三角形の高さはAE
四角形ABEDは1辺6cmの正方形なので、辺の比
したがって、△ACEの面積は
 
問2(1)  解説解答
(1) 点Aと点M,点Aと点N,点Mと点Nをそれぞれ結んだ場合を考える。立体A-BMNCの体積は何cm3か。
解説
右図の通り、立体A-BMNの体積 = 三角錐C-ABMの体積 + 三角錐M-ACNの体積

三角錐C-ABMの体積は 底面積 = △ABM ,高さCA

三角錐M-ACNの体積は 底面積 = △ACN ,高さAB

CN:NF = 1:2 より CN = 6÷3×1 = 2cm

従って 立体A-BMNCの体積は


別解
求める立体は図の通り

底面積=台形BMNC

高さ 頂点Aから辺BCに下ろした垂線の長さ の四角錐。

△ABCにおいて、三平方の定理より


頂点Aから辺BCに垂線をおろし、その交点をGとすると、直角三角形の求積より、AGは底辺をBCとしたときの高さになるので、


答  20cm3
問2(2)  解説解答
右の図3は、図2において、辺DR上にある点P,辺AD上にある点をQとし、点Mと点P,点Pと点Q,点Qを点Nをそれぞれ結んだ場合を表している。

MN + PQ + QN = dcmとする。

dの値が最も小さくなるとき、線分EPの長さと線分PDの長さの比を最も簡単な整数の比で答えよ。
解説
図の通り 右の展開図の一部の通り、直線EDに関して点Mと対称な点をM'とする。

dの値が最も小さくなるのは 点M'と点Nを直線で結んだとき。

△EM'P∽△FNP より

EM:FN = 3:4 なので EP :FP = 3:4

BCの長さは 6 + 4 = 10cm



答   5:2
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