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2014年度 東京都立進学指導重点高等学校入試問題(過去問) 解答解説

東京都立進学指導重点校数学過去問研究

2014年度から都立日比谷,西,戸山,八王子東,青山,国立,立川が進学指導重点校として、共通の問題を出題するようになりました。そして、[1」〜[4]の小問集合・大問についてそれぞれ問題を選択指定し、出題されました。

今回は[3]の平面図形問題の中から都立日比谷高校・都立西高校・都立八王子東高校・都立立川高校・都立国立高校選択指定のA問題を解説します。

問3 A問題

スペースONEプロ家庭教師の解答で、東京都立高等学校の発表ではありません。

 
問1 解説解答

図1において、点Bと点O,Oと点Qをそれぞれ結んだ場合を考える。AR = QR,∠ARQ = 40°,∠BOQ = 120°のとき、点Aを含まない弧BPの長さと、点Aを含まない弧BQの長さの比を最も簡単な整数の比で表せ。
解説
弧の長さの比は弧の中心角=円周角の大きさの比に比例するので、弧BPと弧BQの円周角の大きさをそれぞれ求めるとよい。
弧BQの円周角∠QAB = ∠BOQ÷2 = 120÷2 = 60°
△ARQは AR = QRの二等辺三角形なので ∠RAQ = ∠RQA = (180 - 40)÷2 = 70°
弧BPの円周角∠BAP = ∠BQP = 180 - (∠RAQ + ∠QAB) = 180 - (70 + 60) = 50°
したがって ∠BAP:∠QAB = 50°:60°  よって 弧BP:弧BQ = 5:6

答   5:6
 

問2 (1) 解説解答

△ABQ≡△ARQであることを証明せよ
解説
まず∠ABQ = ∠a,∠PBA = ∠b とおく。

弧AQの円周角より ∠APQ = ∠ABQ = ∠a ・・・@

PQ = QR より∠APQ = ∠ARQ = ∠a ・・・A

@,Aより ∠ABQ = ∠ARQ = ∠a  ・・・B

また 四角形AQBPは円に内接する四角形なので ∠RAQ = ∠PBQ = ∠ABQ + ∠PBA = ∠a + ∠b・・・C

BQ = PQ より ∠QPB = ∠PBQ = ∠a + ∠b ・・・D

弧QBの円周角より ∠QAB = ∠QAB = ∠QPB = ∠a + ∠b ・・・E

C,D,Eより ∠RAQ = ∠QAB = ∠a + ∠b ・・・F

B,Fより 三角形の内角の和は180°なので

∠AQR = 180°- (∠QRA + ∠RAQ) = 180°- (∠a + ∠a + ∠b)= 180°- 2∠a - ∠b ・・・G

∠AQB = 180°- (∠QAB + ∠QBA) = 180°- (∠a + ∠b + ∠a) = 180°- 2 ∠a - ∠b ・・・H

G,Hより ∠AQB = ∠AQR ・・・I

△ABQと△ARQにおいて 仮定より BQ = RQ,辺AQは共通。Iより 二辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ABQ≡△ARQ
 
   

問2 (2) 解説解答

(2) 線分ABが円Oの直径になる場合を考える。AB = 3cm,AQ = 1cmのとき、線分PRの長さは何cmか。
解説
∠AQBは直径の円周角なので 90°

よって 三平方の定理より


△PRQは QR = PQの二等辺三角形なので、、頂点Qから辺PRに垂線をおろし、その交点をMとする。

二等辺三角形の性質より RM = PM

また △MQPと△QABにおいて、∠PMQ = ∠BQA = 90°,弧AQの円周角なので、∠QPM = ∠ABQ

二角相等より、△MQP∽△QAB

よって QP:PM = AB:BQ  したがって、

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