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2014年度 東京都立高等学校入試問題(過去問) 解答解説

東京都立高等学校数学過去問研究

2014年度都立高校数学入試問題は、例年通りの出題構成で、内容は1.小問集合9問(含作図) 2.場合の数と証明 3.関数のグラフ 4.平面図形(含証明) 5.立体図形でした。

今回は 4.平面図形を解説します。 


問4

スペースONEプロ家庭教師の解答で、東京都立高等学校の発表ではありません。

 
(1) 解説解答

(問1)  図1において、∠BAPの大きさをa°とするとき、∠APQの大きさをaを用いた式で表せ。
解説
△ABCは正三角形なので ∠BAC = ∠BAP + ∠PAC = 60°

よって ∠PAC = 60°-
a°

また △APQは直角三角形なので ∠PAQ + ∠APQ = 90°

したがって ∠APQ = 90°- (60°-
a°) = 30° + a°
答  30° + a°
 

問2@  解説解答

@ △PSR ∽ △ASQであることを証明せよ。
解答
△PSR ∽ △ASQにおいて

AC // RP(仮定)より  ∠RPS = ∠QAS(平行線の錯角) ・・・@

∠PSR = ∠ASQ (対頂角) ・・・A

@,Aより 二角相等なので△PSR ∽ △ASQ

問2A 解説解答

A 図2において、 BP:PC = 1:2のとき、△PQSの面積は△ABCの面積の何分のいくつか。
解説
△ABPは正三角形なので 3辺の長さを それぞれAB = BC = CA = 3とする。

△RBPにおいて、 RP // AC より ∠RPB = ∠ACP = 60°

よって △RBPは正三角形なので RB = BP = 1  より

 AR = 3 - 1 = 2 ・・・@

また △QPCにおいて ∠CQP = 90°, ∠PCQ = 60°なので ∠QPC = 30°

三角形の辺の比 より PC :CQ = 2:1

よって  AQ = 3 - 1 = 2 ・・・A

@, Aより RQ // BC

よって AS:SP = 2:1


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