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桐蔭学園高等学校入試問題(過去問) 解答解説

桐蔭学園高等学校数学過去問研究

2014年度桐蔭学園高校第1回数学入試問題は1.小問集合 2.確率 3.平面図形 4.関数 5.空間図形が出題されました。例年通り作図問題が出題されていました。解答形式は例年通りオールマークシート。

今回は4.関数を解説します。

問題4

スペースONEプロ家庭教師の解答で、桐蔭学園高等学校の発表ではありません。

 
(1) 解説解答

点A,Cの座標はA([ア],[イ]),C(-[ウ],[エ])である。また、三角形OACの面積は[オ]である。
A([ア],[イ])解説
C(-[ウ],[エ])解説


三角形OACの面積は[オ]解説
点ACを結ぶ直線の式はA(1,1)   C(-2,4)より 
答 A(1,1)   C(-2,4)   三角形OACの面積 3
(2) 解説解答 
(2) a = 4のとき、四角形ABDCの面積は[カ][キ]である。
解説
(1)より 点A(1,1) 点C(-2,4)
点Cと点Bを結ぶ直線はχ軸に平行なので、
したがって右図の通り、
四角形ABDCの面積は

別解
点A(1,1)  点B(a,a) 点C(-2,4) 点D(-2a,4a)

点Aと点C,点Bと点Dをそれぞれ直線で結ぶ。
△OACと△OBDにおいて、AC//BDより∠OAC = ∠OBD,∠ACO = ∠BDO

二角相等より △OAC∽△OBD
四角形ABDCの面積 = △OBD - △OAC
(1)より△OACの面積は3なので、△OBDの面積は 3×16 = 48
四角形ABDCの面積 = 48 - 3 = 45

答  45

問3 解説解答 

直線BDの方程式解説解答

答  y = - χ + 2a

四角形ABDCの面積解説解答
四角形ABDCの面積 = △OBD - △OAC
△OAC∽△OBDより 

問4 解説解答

(4) 原点Oを通り四角形ABDCの面積を2等分する直線の方程式は y = -[サ]χである。
解説解答
△OACは原点Oと線分ACの中点を通る直線で面積を二等分するので、△OAC∽△OBDより △OBDも線分ACの中点を通る直線で面積を2等分する。
従って、原点Oを通り四角形ABDCの面積を2等分する直線は、原点Oと線分ACの中点を通る直線となる。

答  y = - 5χ


問5 解説解答

(5) (4)で求めた直線と四角形ABDCの辺AC,BDの交点をそれぞれM,Nとする。三角形AMNの面積が3となるとき、a = [シ]である。
等積変形を用いた解説解答
図の通り点Aを通り、χ軸に平行な直線と直線BDとの交点をEとする。

AC//BDより

△AMNの面積 = △AENの面積なので


点Eの座標は(1,4)

直線BDは(1,4)をとおるので、y = - χ + 2aに(1,5)を代入して

5 = -1 + 2a

a = 3

別解1
点MはACの中点,NはBDの中点なので、AM:BN =1:a
AM//BNより △ANM:△BAN = 1:a

別解2

答   3

問6 解説解答

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