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桐蔭学園高等学校入試問題(過去問) 解答解説

桐蔭学園高等学校数学過去問研究

2014年度桐蔭学園高校第１回数学入試問題は１．小問集合　２．確率　３．平面図形　４．関数　５．空間図形が出題されました。例年通り作図問題が出題されていました。解答形式は例年通りオールマークシート。

今回は4.関数を解説します。

スペースＯＮＥプロ家庭教師の解答で、桐蔭学園高等学校の発表ではありません。

点Ａ，Ｃの座標はＡ([ア]，[イ])，Ｃ(-[ウ]，[エ])である。また、三角形OACの面積は[オ]である。
Ａ([ア]，[イ])解説

Ｃ(-[ウ]，[エ])解説


三角形OACの面積は[オ]解説
点ＡＣを結ぶ直線の式はＡ(1，1)　　　Ｃ(-2，4)より


答　Ａ(1，1)　　　Ｃ(-2，4) 　　三角形OACの面積　3

(2)　a = 4のとき、四角形ABDCの面積は[カ][キ]である。
解説
(1)より　点A(1，1) 点C(-2，4)

点Ｃと点Ｂを結ぶ直線はχ軸に平行なので、
したがって右図の通り、
四角形ABDCの面積は


別解

点Ａ(1，1) 　点Ｂ(a，a)　点Ｃ(-2，4)　点Ｄ(-2a，4a) 点Ａと点Ｃ，点Ｂと点Ｄをそれぞれ直線で結ぶ。

△OACと△OBDにおいて、AC//BDより∠OAC = ∠OBD,∠ACO = ∠BDO 二角相等より　△OAC∽△OBD

四角形ABDCの面積 = △OBD - △OAC
(1)より△OACの面積は3なので、△OBDの面積は　3×16 = 48
四角形ABDCの面積 = 48 - 3 = 45

答　　45

問３　解説解答　

問４　解説解答

(4)　原点Oを通り四角形ABDCの面積を2等分する直線の方程式は y = -[サ]χである。
解説解答
△OACは原点Oと線分ACの中点を通る直線で面積を二等分するので、△OAC∽△OBDより △OBDも線分ACの中点を通る直線で面積を2等分する。
従って、原点Oを通り四角形ABDCの面積を2等分する直線は、原点Oと線分ACの中点を通る直線となる。


答　　y = - 5χ

問５　解説解答

(5)　(4)で求めた直線と四角形ABDCの辺AC，BDの交点をそれぞれM，Nとする。三角形AMNの面積が3となるとき、a = [シ]である。
等積変形を用いた解説解答
図の通り点Ａを通り、χ軸に平行な直線と直線ＢＤとの交点をＥとする。 AC//BDより △ＡＭＮの面積 = △ＡＥＮの面積なので点Ｅの座標は(1,４) 直線ＢＤは(1,4)をとおるので、y = - χ + 2aに(1,5)を代入して 5 = -1 + 2a a = 3

別解1
点ＭはＡＣの中点，ＮはＢＤの中点なので、ＡＭ：ＢＮ　＝１：a
ＡＭ//ＢＮより　△ＡＮＭ：△ＢＡＮ = 1：a


別解2


答　　　３