中学受験指導専門プロ家庭教師の小学生算数学習法

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中学受験のための四年生算数学習法

第12回 平面図形の様々な解法
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INDEX

第1回  算数中学受験の特殊算

第2回  消去算 3・4年生基本問題


第3回  消去算 倍数変化算・表

第4回  消去算 倍数変化算・線分図

第5回  2つの差に注目する問題

第6回  豊島岡中学入試問題

第7回  倍数と置き換えの問題

第8回  女子聖学院3回

第9回 計算・平面図形への対応
スペースONE最新情報 第10回 基礎力を充実させよう
第11回 特殊算の先取り学習
第12回 平面図形の様々な解法
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小学四年生算数の学習法

第1回 算数:中学受験の特殊算

四谷大塚の『予習シリーズ』では、従来「比」の学習は、新六年生になって学習する内容でしたが、改訂版によって五年生の2学期の学習内容に繰り上げられました。これによって、日能研・サピックス・啓明舎・四谷大塚、そして『予習シリーズ』を教材とする栄光ゼミナール・早稲田アカデミー・学習指導会等の中学受験進学塾で、五年生の1・2学期に『比』が出揃うことになりました。

つまり五年生の一年間で中学受験に必要な基本的な特殊算を学習することになったということです。

この結果、六年生では難関中学受験向けの高レベルな学習内容に重点が移っていくと考えられます。

五年生の一年間に特殊算、平面・立体図形に取り組める準備(線分図・面積図・天秤による思考の導入)を四年生までに整えることが望ましいことになります。それには具体物から抽象化への概念の移行を四年生までに済ませておく必要があります。進学塾での学習では、具体物を用いての指導はあまり望めません。条件を整理しながら紙上での思考が可能になる準備を、第2回以降段階的にご説明しましょう。四年生は、まだ体力的にも幼く抽象化への移行の端境期にあります。無理なく四年生の一年間を乗り切ってください。

入試問題に関して詳しくは学校別入試傾向と対策へ

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第2回 消去算を例に挙げて中学受験の特殊算を学習しましょう。


例1消去算 3・4年生基本問題  一方がそろっている問題

  問題1  りんごが2個とみかん5個で550円、りんご4個とみかん5個で750円のとき、りんご、みかんはそれぞれいくらですか。

     具体物を用いて理解したうえで、線分図で置き換えてみましょう。

具体物から線分図への置き換えは、五年生からの学習に必須です。何度も繰り返して慣れましょう。特に一方がすでにそろっている問題は、倍数変化算の「和が一定問題」へとつながっていきます。問題文に沿って適切な線分図が書けるようになりましょう。

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第3回例2 倍数変化の考え方を用いて

一方の数をそろえる問題。
        りんご2個とみかん3個で410円、りんご3個とみかん5個で650円のとき、りんごとみかんの値段はそれぞれいくらですか。
  
   まず、表に整理して考えていきましょう。

りんごの個数 みかんの個数 金額
2 3 410円
3 5 650円


りんごの個数とみかんの個数がそれぞれ違うので、どちらかに個数を合わせます。
ここでは、りんごの個数にあわせましょう。2と3の最小公倍数6にするためそれぞれを3倍2倍にすると


りんごの個数 みかんの個数 金額
6 9 1230円
6 10 1300円
違い 0 1 70円


  
  表より みかん1個=70円
   よって、りんご1個・・・410−(70×3)÷2=100円

この一方のそろえる問題も、線分図を用いて計算するとどうなるでしょう。次回はこの問題を線分図で解きましょう。


第4回 例2 線分図で解きましょう。


表と同様りんごに数を合わせて線分図を描きましょう



   線分図に表すと線の長さがそのもの違いとして理解がしやすいようです。線分図の描き方によく慣れて問題文をそのまま線で表現できるようになりましょう。


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第5回  例3 2つの差に注目する問題。

 
イチゴ2個と、みかん3個では、900円、イチゴ3個と、みかん2個で850円です。
イチゴとみかんの値段は、それぞれいくらですか。

表にして考えましょう。

値段
2 3 900
3 2 850
違い 1 1 50

 表より、イチゴ1個とみかん1個の値段の差は50円で、みかん1個はイチゴ1個より50円高い。
  よって、みかんをイチゴに置き換えると
イチゴ5個・・・900−50×3=750円
   イチゴ1個・・・750÷5=150円
   みかん1個・・・150+50=200円



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第6回  例4 2つの差に注目する問題。(豊島岡学園女子中学校入試問題)

例4 本を2冊とノートを5冊買うと代金は1280円です。また本1冊とノート4冊の合計代金と本2冊とノート3冊の合計代金の差は220円です。このとき本1冊の値段はいくらですか。
 難関校の問題ですが、例3と同様、表にして考えると

ノート 値段
1 4
2 3
違い 1 1 220


例3と違い、本とノートのどちらが高いかがわからないので、@本が高い場合、Aノートが高い場合に分けて考えます。


@ 本2冊  ノート5冊    1280円
   本2冊=ノ−ト2冊+220×2=440円
   ノート7冊=1280−440=840
     よってノート1冊・・・840÷7=120円


Aも同様に計算すると(以下省略)、割り切れなくなるので、答えは、@の場合になります。

この問題は、本が高いかノートが高いかの条件を加えるだけで、例3と難易度の差はほとんどありません。


第7回  例5 倍数と置き換えの問題 

   ショートケーキ1個の値段は、プリン1個の値段の3倍で、ショートケーキ4個とプリン6個を買ったら1,800円でした.。プリン1個の値段はいくらですか。

値段 1,800円


 
ショートケーキをプリンに置き換えましょう。

プリンの数 値段
18個 1,800円

表より  プリン18個で1,800円。
      プリン1個では 100円

              

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第8回 倍数と置き換えの問題例6(女子聖学院3回類題)

 雑誌2冊の値段とボールペン7本の値段が同じとき、雑誌10冊とボールペン8本を買うと1290円です。このとき雑誌1冊の値段はいくらですか。

 例5度同様、図示して考えるほか、計算式にすると、
  ボールペン  7×5+8=43本 で1290円なので、
  ボールペン1本・・・1290÷43=30円
  雑誌     ・・・30×7÷2=105円

別解
  雑誌1冊とボールペン1本の値段の比
    ザ×2=ボ×7=1
     7 : 2
  
よって 7×10+2×8=86
      86・・・1289円に相当する
   雑誌1冊・・・1290÷86×7=105円

このような一行問題では、一問あたりにかけられる時間は2〜3分の場合が多いので、スピードと正確さという点から見ると、比を使いこなす必要性をここで見て取れるでしょう。

以上のように、例1・2・3・5は、四年生の塾教材に含まれている問題ですが、例4・6では、教科書としては6年生の範囲に入る倍数を4年生ですでに学んでいることを前提としており、また、入試レベルの問題を四年生の学習内容に入れている場合が多い。難関校の入試レベルの問題をも含む塾教材中のすべての問題をこなす事だけに力点が入ると、問題の内容を理解せず丸暗記型の学習になり応用力が身につかなくなる可能性が高い。四年生では、りんご・みかんなどの絵から、線分図で問題文を表現できるまでの基礎的な準備を十分にしておきさえすれば、五年生での基礎からの復習を応用倍数変化算、比の応用問題につなげられると考えられます。



視覚的に十分納得させた後、通分することの意味を確認し、紙上のみの学習へと移ることが望ましい。また、分数の計算で必須な約数・倍数も、塾教材では一足飛びに素因数分解を用いるが、六年の教科書にある2つの数・3つの数それぞれの倍数・約数を出して、共通する約数・倍数を求める方法を繰り返し、その意味を十分納得した後、塾教材へと段階的に理解を伸ばしていくと、5年の2学期に学習する「比」では、逆数の理解や、比の簡略化の処理が円滑にでき、比を取り違えるなどの苦労を未然に防ぐことになろう。
 平面図形、立体図形、点・線・対称図形を5年生の学習で理解しやすいように、画用紙・工作用紙・グラフ用紙を用いて、三角定規・コンパス・分度器を使いこなす練習を繰り返してほしい。円に内接する正多角形・三角形・四角形(台形・平行四辺形・ひし形など)・おうぎ形の作図、平面図(展開図)の組み立てによる表面積、体積、さらには複数の立体図形の重なり方を三方向(六方向)から、どのように見えるかを確認し、さらに粘土(頂点)と竹ひご(辺)で立体を作り、3点、4点で立体図形を分割したときにできる平面の形の確認や、頂点、辺を増やすときの図形の数の規則的な増え方まで、視覚的に、そして皮膚感覚として実体験してほしいものである。平面図形の面積や、角度の出し方、立体図形の展開図や、図形の分割など、図形の中に隠されている条件を読み取る練習を家庭学習として、十分時間の取れる時期につんでいてほしい。空間感覚、平衡感覚を要求される学習は、一朝一夕に身につくものではないだろう。




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第9回 計算・平面図形への対応

 つぎに、計算に関しては、五年六年の教科書の学習範囲にある分数、小数の四則計算も、塾教材では四年の学習範囲です。この分数、小数の概念も、具体物から抽象化への一助として、パン、チョコレート、ケーキなど、大きさ、形の異なるものを分割し、視覚的に十分納得させた後、通分することの意味を確認し、紙上のみの学習へと移ると分数への抵抗感が少なくすむようです。また、分数の計算で必須な約数・倍数も、塾教材では一足飛びに素因数分解を用いますが、六年の教科書にある2つの数・3つの数それぞれの倍数・約数を出して、共通する約数・倍数を求める方法を繰り返し、その意味を十分納得した後、塾教材へと段階的に理解を伸ばしていくと、5年の2学期に学習する「比」では、逆数の理解や、比の簡略化の処理が円滑にでき、比を取り違えるなどの苦労を未然に防ぐことになるでしょう。
 
 平面図形、立体図形、点・線・対称図形を5年生の学習で理解しやすいように、画用紙・工作用紙・グラフ用紙を用いて、三角定規・コンパス・分度器を使いこなす練習を繰り返してほしい。円に内接する正多角形・三角形・四角形(台形・平行四辺形・ひし形など)・おうぎ形の作図、平面図(展開図)の組み立てによる表面積、体積、さらには複数の立体図形の重なり方を三方向(六方向)から、どのように見えるかを確認し、さらに粘土(頂点)と竹ひご(辺)で立体を作り、3点、4点で立体図形を分割したときにできる平面の形の確認や、頂点、辺を増やすときの図形の数の規則的な増え方まで、視覚的に、そして皮膚感覚として実体験してほしいものです。平面図形の面積や、角度の出し方、立体図形の展開図や、図形の分割など、図形の中に隠されている条件を読み取る練習を家庭学習として、十分時間の取れる時期につんでいてほしい。空間感覚、平衡感覚を要求される学習は、一朝一夕に身につくものではないからです。

参考入試問題

2008年度

慶應義塾普通部 立体図形にチャレンジ


攻玉社中学校 展開図にチャレンジ


立教新座中学校 立体の切断にチャレンジ



第10回 基礎力を充実させよう。

以上述べてきましたが、塾教材では四年生であっても、応用問題として難関校の入試問題が載せられています。しかし四年生のテキストに載せられているからといって、基礎力なしに無理にすべてをこなす必要はありません。基礎学力を十分身につけることで、五年生からの塾学習に無理なく適応できます。あせらず、情報に惑わされない一年間にしてください。

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第11回 特殊算の先取り学習

第8回まで、「消去算」を例にとって特殊算をご説明しましたが、「消去算」の場合は、問題の難易によって段階的に解法を換えましたが、同一問題も様々な解法があります。まず女子学院中学校の「文章題」を見ましょう。

 平均算の解法は 全体÷個数=平均で学習する基本問題からスタートして、天秤または面積図で求める解法へ応用問題の解法は進んでいきます。

女子学院中学校
平均算にチャレンジ
解法1
解法2
解法3

この解法は、進学塾によってまたは同じ進学塾内でも指導する塾講師によって、どの解法を取るのか分かれるところです。また、四谷大塚の『予習シリーズ』をテキストに使用する塾であっても、予習シリーズの解説にある解法そのままで指導するわけではありません。様々な解法を柔軟な姿勢で取り入れていってください。解法は一つではありません。「これでなければいけない」という押しつけは厳禁でしょう。



第12回 平面図形の様々な解法

次に 慶應義塾中等部入試問題を例にとって平面図形の解法を見ていきましょう。

慶應義塾中等部入試問題(平面図形にチャレンジ)詳しい解答・解説

 平面図形でも、和算(鶴亀算)を用いた解法(解法1)が最も中学受験での学習らしいオーソドックスな解法といえるでしょう。今までの経験からも最も生徒が理解しやすい解法です。解法2・3は、中学生の解法または算数の得意な生徒向けです。算数が苦手な生徒は面積移動(等積変形)がなかなか理解しにくいようです。解法4も平面図形の解法としては小学生には相似形を学習する応用問題として指導していく方がよいようです。

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