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2016年度 ラ・サール高等学校入試問題(過去問) 解答解説

ラ・サール高等学校数学過去問研究

2016年度ラ・サール高等学校数学入試問題は例年通りの出題構成で1.計算問題 2.小問集合 3.〜6.大問でした。出題内容は 1.計算問題4問  2.小問集合5問  3.関数のグラフ 4.平面図形 5.確率 6.立体図形でした。

今回は 4. 平面図形を解説します。内角に注意し補助線を引いて考えましょう。

問題4

図のような四角形ABCDについて、次の問いに答えよ。
(1) CDの長さを求めよ。

(2) 3点A,D,Cを通る円をOとする。円Oの半径を求めよ。

(3) (2)の円Oと、直線ABの交点のうち、Aでない方をEとする。BEの長さを求めよ。
t

スペースONEプロ家庭教師の解答で、ラ・サール高等学校の発表ではありません。


(1) 解説解答

(1) CDの長さを求めよ。
解説解答
ADの延長線とBCの延長線の交点をFとする。∠FAB = ∠FAB = 60°より∠AF = 60°

よって △ABFは正三角形

△DFCにおいて、 DF = 4 - 2 = 2, FC = 4 - 3 = 1,∠AFB = 60°なので △DFCの各辺の比は

 

(2) 解説解答

(2) 3点A,D,Cを通る円をOとする。円Oの半径を求めよ。
解説解答
外心は三角形の3辺の垂直二等分線の交点なので、

図の通り外心をO,ADの中点をM,DCの中点をN,ONの延長線とDEとの交点をPとおく。

∠DNO = 90°なので ∠DNP = 90°

(1)より∠EDC = 30°よって ∠DPN = 60°・・・@



∠PMO = 90°・・・A

△MOPにおいて、

@,Aより∠MOP = 30°

PM = MD + DM = 2



△DMOにおいて、三平方の定理より


(3) 解説解答
(3) (2)の円Oと、直線ABの交点のうち、Aでない方をEとする。BEの長さを求めよ。
解説解答
点OからAEに垂線をおろし、その交点をQ,AEとMOとの交点をTとする。

△ATMと△OTQにおいて、∠ATM = ∠OTQ = 30°(対頂角)

∠TMA = ∠TQO = 90°

したがって △ATM ∽ △OTQ 



△AOQと△EOQにおいて、∠OQA = ∠OQE = 90°

OQ = OQ (共通)

OA = OE (半径)

したがって △AOQ ≡ △EOQ


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