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2013年度九州国際大附属高校入試問題(過去問) 解答解説

九州国際大附属高等学校数学過去問研究


2013年度 九州国際大附属高校一般算数入学試験問題は 例年通り 小問集合と大問5題の構成でした。出題内容は 1.計算を含む小問集合10問 2.関数のグラフ 3.規則性と立体の体積・表面積 4.方程式の応用 5.平面図形(円の性質) 6.平面図形と立体図形でした。

難問はなく、各分野から基本〜標準レベルの問題が満遍なく出題されていました。

今回は 5.平面図形(円の性質)を解説します。三平方の定理を用いた出題です。要領よく補助線を引いて 各角度が30°,60°の直角三角形を見つけていきましょう。

  

問題 5

t

スペースONEプロ家庭教師の解答で、沖縄県の発表ではありません。

(1) 解説解答

円Oの半径rを求めなさい。
解説
半径r=OQなので、OQの長さを求めるとよい。
四角形ABCDはひし形なので AB=AD よって△ABDは正三角形なので∠ABO=60°
△BOQにおいて ∠ABO=60°∠OQB=90° よって∠QOB=30°なので
辺の比は QB:BO:OQ=1:2:√3
BO=2なので 
辺の比より OQ=r=√3

答  √3
(2) 解説解答
2点S,Rを含まない方の弧PQと線分AQ,APで囲まれる図形の面積を求めなさい。
解説
求める面積は △ABDー(△QBO+△PDO+おうぎ形OQP) なので
△ABDは∠ABO=60°∠AQB=90° ∠OAB=30°なので、辺の比より AO=2√3
よって △ABDの面積は 4×2√3÷2=4√3
△QBOの面積=△PDOの面積なので △QBO+△PDOは QB×OQ÷2 より 1×√3÷2×2=√3
おうぎ形OQPの面積は 3π×120/360=π 
以上のことより 4√3ー(√3+π)=3√3ーπ
  
答 3√3ーπ
(3)解説解答
線分BP,DQの交点をEとするとき、△QBEの面積を求めなさい。
解説
図の通り △AQP∞△ABDより 面積比は 3×3:4×4=9:16

よって 台形QPCBの面積は 三角形ABDの(16-9)/16=7/16

QP:BD=3:4  なので PE:EB=3:4,QE:ED=3:4

よって △QPE:△QEB:△BED:△PED=3×3:3×4:4×4:3×4

△QBEは台形QPCBの面積の12/(9+12+12+16)=12/49

よって △QBEの面積は △ABCの面積の7/16×12/49=3/28

(2)より △ABDの面積は 4×2√3÷2=4√3なので

4√3×3/28=3√3/7
答  3√3/7
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