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2016年度開成高等学校入試問題(過去問) 解答解説

開成高等学校数学過去問研究

開成高等学校2016年度数学入試問題は大問4題構成。1.小問集合6問, 2.関数とグラフ 3.平面図形 4.空間図形が出題されました。

今回は、3.平面図形を解説します。(1)〜(3)は三平方の定理や相似形の基本問題,(4)はかなりの難問でした。

数学入試問題 平面図形3.

問題

右図のように、1辺の長さが2の正方形ABCDの辺AD上に点Eをとり、Bを中心とする半径2の円と線分BEの交点をFとする。また、点Fにおけるこの円の接線と辺CD,DAとの交点をそれぞれG,Hとする。AE:ED = 3:1の場合について、以下の問いに答えよ。

(1) 線分EFの長さを求めよ。

(2) A,B,C,・・・Hを頂点とする三角形の内で、△DEGと合同なものをひとつ挙げよ。ただし、△DEG自身は除くものとする。

(3) 線分FHの長さを求めよ。

(4) 直線GEと直線BDとの交点をIとして、直線HIと直線GDの交点をJとするとき、線分JGの長さを求めよ。
t

スペースONEプロ家庭教師の解答で、開成高等学校の発表ではありません。

(1) 解説解答

(1) 線分EFの長さを求めよ。
解説解答
△AEBにおいて、

(2) 解答

(2) A,B,C,・・・Hを頂点とする三角形の内で、△DEGと合同なものをひとつ挙げよ。ただし、△DEG自身は除くものとする。
解説解答

答 △FEG

(3) 解答

(3) 線分FHの長さを求めよ。
解説解答
△AEBEと△FHEにおいて、

∠EAB = ∠EFH = 90°

∠BEA = ∠HEF (共通)

二角相等より△AEBE ∽ △FHE

よって EA:AB = EF:FH

 

 
(4) 解答

(4) 直線GEと直線BDとの交点をIとして、直線HIと直線GDの交点をJとするとき、線分JGの長さを求めよ。
解説解答
△FHEと△DHGにおいて、

∠EFH = ∠GDH = 90°

∠FHE = ∠DHG (共通)

二角相等より△FHE ∽ △DHG

(3) より △ABE ∽ △FHEなので、△ABE ∽ △FHE ∽ △DHG


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