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2012年度 開成中学校算数入試問題

開成学園 開成中学校過去問研究

2012年度開成中学校の算数入試問題は、昨年度の小問がなくなり、大問のみの4問構成でした。 2011年度算数合格者平均点が72.1点 合格者平均得点率が84.8%だったのに比べ2012年度は合格者平均点55.7点 合格者平均得点率65.5%と大幅に得点率がさがり、難易度の高い出題でした。

今回は2.平面図形を解説します。2012年度の算数問題の中では比較的平易です。受験生の得点源になったでしょう。

2 問題

スペースONEプロ家庭教師の解説・解答で、開成中学校の発表ではありません。

(1)解説・解答

(1) AF,BDの長さをそれぞれ求めなさい。
AFの長さを求める。
解説
三角形AEDは三角形ABDを折り返した形なので、 三角形ABDと三角形AEDは合同。

BC=7cm  FC=3cmなので 三角形ABF:三角形FAC=7−3:3=4:3

AFと同じ長さになる点をAB上におき、その点をF’とすると 三角形BF’D=三角形EFD

三角形DEF:三角形ABC=1:7 なので 三角形BF’D:三角形ABC=1:7

以上から  

三角形AF’D:三角形ADF:三角形BF’D:三角形AFC
=(7−1−3)÷2:(7−1−3)÷2:13=1.5:1.5:1:3=3:3:2:6

よって 三角形AF’D:三角形BF’D=3:2

AF’:F’B=3:2

AB=6cm なので AF’=6÷(3+2)×3=3.6

AF’=AF より AF=3.6

BDの長さを求める。
解説
三角形AF’D:三角形ADF:三角形BF’D:三角形AFC=3:3:2:6


より 三角形ABD:三角形ADF=3+2:3=5:3

BF=4cm なので

BD=4÷(5+3)×5=2.5
答   AF=3.6cm,   BD=2.5cm

(2)解説・解答

三角形ACDを2点AとDを通る直線を軸として回転してできる立体の体積は、三角形ABDを2点AとDを通る直線を軸として回転してできる立体の体積の何倍ですか。
解説
三角形ACDを2点AとDを通る直線を軸として回転してできる立体は図の通りCJを半径としてAJとDJを高さとする三角すい2つ。
体積は CJ×CJ×3.13×AD÷3

三角形ABDを2点AとDを通る直線を軸として回転してできる立体は BIを半径としてADを高さとする三角すい。
体積は BI×BI×3.14×AD÷3

三角形ACDと三角形ADBの面積比は 3+6:5=9:5 なので CJ:BI=9:5

よって 体積比は 9×9×3.13×AD÷3:5×5×3.14×AD÷3=9×9:5×5=81:25

三角形ACDを2点AとDを通る直線を軸として回転してできる立体の体積は、三角形ABDを2点AとDを通る直線を軸として回転してできる立体の体積の (81÷25)倍

81÷25=3.24
答   3.24倍
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