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2008年度 開成中学校算数入試問題

開成学園 開成中学校過去問対策研究

2008年度開成中学校の算数入試問題は 基本レベルの数の性質、立体図形の投影、図形上の点の移動2題の大問4題構成でした。

算数入試問題(条件整理と平面図形上の点の移動にチャレンジ)

4 問題

1辺5cmの正五角形ABCDがあります。図1のように正五角形の各頂点、およびそれぞれの辺に頂点から1cm間隔で印がついています。

いま25個ある印のうち、点Eには黒丸を置き、それ以外の5箇所に白丸をおきます。 

白丸は正五角形の頂点を反時計回りに秒速1cmで動きます。

また、黒丸は正五角形の対角線上をE→B→D→A→C→E→B→・・・の順で3秒ごとに次の頂点に着くように一定の速さで動きます。 

黒丸と白丸が同時に動き出し、黒丸と白丸が重なるとその白丸が消えます。

このとき以下の問に答えなさい。


(1) 動き出してから15秒ですべての白丸が消えるような白丸の置き方を書きなさい。

(2) 動き出してからちょうど18秒ですべての白丸が消えるような白丸の置き方は何通りありますか。

(3) 白丸が5個連続で並んでいるような置き方を考えます。このとき、動き出してからすべての白丸が消えるまでにかかる時間が最も短い場合の白丸の置き方の例をかきなさい。また、そのときにかかる時間は何秒ですか。

スペースONEプロ家庭教師の解説・解答で、開成中学校の発表ではありません。

(1) 解説解答

(1) 動き出してから15秒ですべての白丸が消えるような白丸の置き方を書きなさい。

解説

@ Bで消すとき 動き出して3秒後 Bの3前の位置
A Dで消すとき 動き出して6秒後 Dの6前=Cの1前の位置
B Aで消すとき 動き出して9秒後 Aの9前=Dの1後の位置 
C Cで消すとき 動き出して12秒後 Cの12前=Aの2前の位置
D Eで消すとき 動き出して15秒後 Eの15前=Cの位置

解答

(2) 解説解答

(2)  動き出してからちょうど18秒ですべての白丸が消えるような白丸の置き方は何通りありますか。

解説

黒丸は3秒ごとに白丸を消すので、3,6,9,12,15,18秒の6回中18秒目をのぞく5回で1回消えない置き方を考える。 

解答  5通り  

(3) 解説解答
白丸が5個連続で並んでいるような置き方を考えます。このとき、動き出してからすべての白丸が消えるまでにかかる時間が最も短い場合の白丸の置き方の例をかきなさい。また、そのときにかかる時間は何秒ですか。
解説
(1)より 3秒ごと、7cmの等間隔でで白丸は消えていくので、
(1)図より @ A B C D
7cm 7cm 7cm 7cm
図に書き込んでいくと
Rまで書き込んだとき白丸が5個連続して並ぶ置き方になる。

答えは2通り かかる時間は 19×3=57秒
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