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2008年度 開成中学校算数入試問題

開成学園 開成中学校過去問対策研究

2008年度開成中学校の算数入試問題は 基本レベルの数の性質、立体図形の投影、図形上の点の移動2題の大問4題構成でした。

算数入試問題(条件整理と平面図形上の点の移動にチャレンジ)

3 問題

1辺の長さが10cmの正方形ABCDがあります。右の図のE,F,Hは正方形の各辺の真ん中の点であり、OはEFとGHが交わった点です。点Pは点Aから秒速1cmで図の線上を  A→E→O→F→C→G→O→H→Aと移動します。 

また点Qは、点Pと同時に点Aを出発して、正方形ABCDの周上を点Pより速い一定の速さで時計回りにまわります。

このとき以下の問に答えなさい。
(1) 点Pが正方形ABCDの周上を動いている間の移動の様子のグラフを解答用紙に書き込みなさい。(点Pが正方形ABCDの周上を動いていない時間は何も書き込んではいけません。)

(2) 点Qは出発してから2周目にCF上のCから1cmの地点で点Pと初めて重なりました。点Qの速さは秒速何cmですか。

また、点Pと点Qが出発してから2回目に重なるのはどの地点ですか。解答欄の下線部に適当な数、または文字を書き込みなさい。

スペースONEプロ家庭教師の解説・解答で、開成中学校の発表ではありません。

(1) 解説解答

(1) 点Pが正方形ABCDの周上を動いている間の移動の様子のグラフを解答用紙に書き込みなさい。(点Pが正方形ABCDの周上を動いていない時間は何も書き込んではいけません。)
解説
Pが動いている位置
@ 0秒→5秒 AE
5秒→15秒 EF
A 15秒→20秒 FC
B 20秒→25秒              CG
25秒→35秒 GH
C 35秒→40秒  HA
よって点PがABCD上にあるのは@0秒〜5秒、AB15秒〜25秒、C35秒〜40秒の間。

(2-1) 解説解答
(2)点Qは出発してから2周目にCF上のCから1cmの地点で点Pと初めて重なりました。点Qの速さは秒速何cmですか。 
解説

点Gが点Pとはじめて重なる時間 = 点PがCF上のCから1cmまで進むのにかかる時間

19秒間で点Qが進む距離  40+21=61(cm)     点Qの速さ  61÷19=3 4/19    
答    秒速 3 4/19cm
(2-2) 解説解答
また、点Pと点Qが出発してから2回目に重なるのはどの地点ですか。解答欄の下線部に適当な数、または文字を書き込みなさい。
解説
点Qの速さは 秒速3 4/19cmなので 1周(40cm)するのにかかる時間 40÷3 4/19 =760/61秒 (1)のグラフに点Qの動きを重ねると

グラフより点Qが2度目に重なるのは点Qが出発して3周目で35秒から 760/61 ×3 =2280/61秒の間

出発して35秒後の点Pの位置 = H  

出発して35秒後の点Qの位置 35×3 4/19 =2135/19    Dから 45/19cmの地点 

このとき点Pと点Qの差 5−45/19 =50/19  

重なるのは 35秒後から さらに  50/19 ÷ (3 4/19−1)=1 4/21秒後 

点Pの速さは秒速1cmなので AH上のHから1 4/21cm


答  AH上のHから1 4/21cm
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