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2007年度 開成中学校算数入試問題

開成学園 開成中学校過去問対策

2007年度は男女難関校で速さの出会い・追いかけ算を出題していました。

2007年度麻布中学校算数入試問題(速さにチャレンジ・速さの追いかけ算解説)

2007年度桜蔭中学校入試問題(速さの出会い算詳しい解説)

2007年雙葉中学校算数入試問題(速さにチャレンジ)


開成中学校の速さの問題では(1),(2)は 基本レベル、(3)が条件整理を必要とする開成中ならではの煩雑問題でした。


開成中学校2007年度算数入試問題(速さの出会いと追いかけ算にチャレンジ)

4 問題

一定の速さで一つの円周をまわる3つの点A,B,Cがあります。


AとBは同じ向きに、CはA,Bとは反対の向きに進みます。


3つの点A,B,Cが同じ地点から1時ちょうどに出発しました。


AとCは1時2分に、BとCは1時7分に、出発後初めて出会いました。


また、Aは1時2分30秒に初めて元の地点に戻りました。


(1) Bが初めて元の地点に戻る時刻を求めなさい。


(2) AがBに初めて追いつく時刻を求めなさい。


(3) A,B,Cが初めて正三角形の3つの頂点となる時刻を求めなさい。

スペースONEプロ家庭教師の解説・解答で、開成中学校の発表ではありません。

(1)解答

(1) Bが初めて元の地点に戻る時刻を求めなさい。

3人の旅人さんは共通の距離を見つけていくことから解法が始まる場合が多いです。


麻布の出会いと追いかけ算もそうでしたね。

開成の1番の問題も共通の道のりで歩く時間の差から始まります。


解説
円周を直線にして考えましょう。


同じ距離をCは2分で、Aは30秒で進んでいます。 

AとCの時間の比は A::C=30秒:2分=1:4 

よってAとCの速さの比はA:C=4:1

円周の長さは速さ1のAと速さ4のCが2分間で出会う距離になるので

2×(1+4)=10  

10の距離をBとCは7分で出会っているので、

BとCの速さの和・・・10÷7=10/7  

Cの速さ=1なので Bの速さ 10/7ー1=3/7 

Bがはじめてもとの地点に戻る時間は 

1周10の距離を3/7の速さで進んだときにかかる時間なので 

10÷3/7=70/3{分) 

答  1時間23分20秒

(2)解答

基本レベルの追いかけ算です。さっさと答えてしまいましょう。

(2) AがBに初めて追いつく時刻を求めなさい。

解説



AがBに追いつく時刻は1周10だけAがBより多く進めばいいので、当然追いかけ算は速さの差で計算できますね。


答  1時2分48秒

3)解答
A,B,Cが初めて正三角形の3つの頂点となる時刻を求めなさい。

解説

(3)BCは7分ごとに出会い、BA  分ごとに抜かれることを利用して、

 

BCBAの相対的位置関係を考えます。

 

BCは一周を7分で会うのでBC  周ずつ離れる時間を調べてみましょう。

C1Bと出会うときであるから

0分 7分 14分 21分 …

C2の位置にくる時間は

  分  分 

C3の位置にくる時間は

      分 …

次にBAの相対的位置関係を調べてみます。

BA分ごとに追いつかれます。

 

 A1の位置にくる時間は

0分         分 …


A3の位置にくる時間は

     分 …


A2の位置にくる時間は

    分 …


ここでC2A3が同じ時間になるときか、C3A2が同じ時間になる時を調べます。

そうするとC3分とA2分が同じ時間であることが分かります。

したがって  分後に下の図のような位置関係になります。

 

 

 

          答 1時4分40秒

(3)別解

A,B,Cが初めて正三角形の3つの頂点となる時刻を求めなさい。

解説

三角形ABCが正方形になるとき   辺AB=辺BC=辺CA  よってAB間の距離=BC間の距離=CA間の距離  この場合下図のように2通り考えられます。


まず@の場合から考えていきます。

(ァ) AとCがであって、さらに10/3の距離分離れたときなので  (10+10/3)÷(4+1)=8/3・・・2分40秒後  2回目はこのときからさらに1周分進んだときなので、10÷(4+1)=2・・・2分後   2分40秒,2分40秒+2分,2分40秒+2×2,・・・・・

(ィ)BとCが3/10の距離まで近づいたときなので、(10ー1-/3)÷(1+7/3)=14/3・・・4分40秒  2回目はこのときからさらに1周分進んだときなので、4分40秒,4分40秒+7分,4分40秒+7×2,・・・


Aの場合
  

AとCが3/10の距離まで近づいたとき (10−3/10)÷(4+1)=4/3・・・1分20秒   

2回目はこのときからさらに1周分進んだときなので 1分20秒,1分20秒+2分,1分20秒+2×2,・・・・・

(ィ) BとCが3/10の距離はなれたとき  3/10÷(1+3/7)=7/3・・・・・2分20秒   

2回目はこのときからさらに1周分進んだときなので、  2分20秒,2分20秒+7分、 2分20秒+7×2、・・・・・   

@AよりABCが始めて正三角形の3つの頂点になるのは 出発して 4分40秒後  

答 1時4分40秒

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