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2009年度女子学院中学校入試問題(過去問)解答解説

女子学院中学校算数過去問研究

2009年度は都内最難関女子中学校(桜蔭中学校・女子学院中学校)が、算数入試問題に図形上の点の移動を取り上げました。それぞれの問題を解き比べてみましょう。

桜蔭中学校2009年度算数入試問題図形上の点の移動にチャレンジ

算数入試問題 注目の一題 図形上の点の移動にチャレンジ

6問題

図は、長方形ABCDと直角三角形DCEを組み合わせた図形である。

点アは、頂点Aを出発して毎秒2cmの速さで、辺ACを往復する。

点イは頂点Bを出発して毎秒3cmの速さで辺BEを往復する。

点ア、点イは同時に出発する。

点アと点イを結んでできる直線を、直線アイと呼ぶことにする。
(1) 直線アイが辺ABと初めて平行になるのは、出発してから何秒後ですか。ただし、直線アイと辺ABがぴったりと重なるときはのぞく。

(2) 直線アイが四角形ABEDを1つの三角形と1つの四角形に分けるのは、出発して2分後までに何回ありますか。


(3) 長方形ABCDの対角線ACと対角線BDが交わる点をFとする。直線アイが点Fを通るのは、出発してから1回目と2回目はそれぞれ何秒後ですか。 


スペースONEプロ家庭教師の解答で、女子学院中学校の発表ではありません。

(1) 解答

(1) 直線アイが辺ABと初めて平行になるのは、出発してから何秒後ですか。ただし、直線アイと辺ABがぴったりと重なるときはのぞく。
解説
図のように、アとイが合わせて(24×2)cm進んだときなので、

24×2÷(2+3)=9.6
答   9.6秒後
(2) 解答

(2) 直線アイが四角形ABEDを1つの三角形と1つの四角形に分けるのは、出発して2分後までに何回ありますか。

解説
条件を満たす場合は、点アが頂点AまたはCに、点イが頂点BまたはEについたときで、点アと点イが同時に頂点A,BまたはC,Dに着いたときをのぞく。
点アは20÷2=10 10秒ごとにA,Cにつく。2分間(120秒間)で120÷10=12 12回 
点イは24÷3=8 8秒ごとにB,Eにつく。120秒間では 120÷8=15 15回 
点アと点イが同時に頂点A,BまたはC,Dに着くのは10と8の最小公倍数40秒ごとになるので、120÷40=3 3回。

図より 40秒後と120秒後は四角形ABECを二つの三角形に分ける直線になり、80秒後は頂点ABを結び四角形を分ける直線にならないので、

条件に合う時間は 8,10,16,20,24,30,32,48,50,56,60,64,70,72,88,90,96,100,104,120,112秒後


よって、12+15ー3×2=21


答 24回
(3) 解答 
(3) 長方形ABCDの対角線ACと対角線BDが交わる点をFとする。直線アイが点Fを通るのは、出発してから1回目と2回目はそれぞれ何秒後ですか。 
解説
1回目
点アと点イの速さの比=距離の比=2:3 1回目に直線アイが点Fを通るときの様子は

1回目に直線アイが点Fを通るのは、点アが8cm進んだときなので 8÷2=4 4秒後


2回目 
AD間20cmを点アが進むのにかかる時間 20÷2=10秒 10秒後の点イの位置は 10×3=30 30−24=6 頂点Eから6cm進んだ位置 このときの様子は
点アイが頂点Dより7.2cm進んだときなので (20+7.2)÷2=13.6  

答     13.6秒後
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